使用實時示波器進行FFT分析的六大原則

我們生活在時域中。這是我們衡量所有數字性能的地方。但有時，我們可以通過繞道頻域來更快地得到答案。通過六個原理，我們可以了解示波器如何將時域測量轉換為頻域視圖。所有六種原理均由具有快速傅里葉變換 （FFT） 功能的示波器“在引擎蓋下”應用。

1. 頻譜是正弦波分量的組合

在頻域中，我們唯一可以考慮的波形是正弦波。還有其他特殊波形，其組合可以描述任何時域波形，例如勒讓德多項式、Hermite 多項式，甚至小波，但我們挑出正弦波作為頻域描述的原因是正弦波是二階、線性和微分方程的解——這些方程在涉及電阻器的電路中經常出現(xiàn)， 電容器和電感元件。這意味著，當使用正弦波組合時，與RLC電路產生或相互作用的信號描述比任何其他功能都更簡單，因為正弦波自然會發(fā)生。

由示波器測量的正弦波在采集緩沖器（圖1）中具有<>萬個電壓時間[V（t）]數據點，在頻域中僅用三個數字描述：頻率值、幅度值和相位值。這是對原始復雜波形的顯著簡化。

圖1.時域中的100 MHz正弦波及其頻域中的頻譜顯示了100 MHz處的一個峰值。

2. 無限地將波形附加到自身上，創(chuàng)建周期性波形

當我們在時域中獲取波形并將其轉換為頻域時，我們最終會得到一組正弦波，每個正弦波都有一個頻率值、一個幅度和一個相位。在時域中，我們將測量描述為具有總采集時間T和樣本之間的時間間隔△T的采集緩沖區(qū)。當我們在頻域中描述相同的波形時，我們將所有正弦波分量的集合（每個分量都有頻率、幅度和相位）稱為頻譜。

不幸的是，我們只能在周期性的V（t）波形上使用離散傅立葉變換（DFT）。如果它不是周期性的，我們必須人為地使它周期性。我們用來將測量數據的任何任意采集緩沖器轉換為周期波形的技巧是獲取總時間T的采集緩沖器，并在過去永遠重復它，在將來永遠重復它。

當我們有這種人為重復的波形時，我們可以應用DFT的功率來數學計算頻譜中的每個頻率分量。以下是用于計算每個頻率分量的幅度和相位的公式：

這些積分在頻譜中創(chuàng)建某些特征。

3. 頻譜中僅出現(xiàn)離散頻率;最低是根本的

在計算的頻譜中，僅顯示離散頻率值。最低頻率分量稱為基波。它是我們可以放入采集緩沖時間的最低頻率正弦波。這個最低頻率正弦波的周期P是總采集時間T。

由于P等于T，基頻為：

頻譜中的每個頻率分量的頻率僅為基波的整數倍：

基波的倍數是我們將在頻譜中看到的唯一頻率分量。這意味著，每個頻率分量之間的頻率間隔或分辨率是基頻。如果我們想要更高的分辨率來區(qū)分頻譜中間隔較近的頻率特征，我們需要在示波器中使用更長的采集時間。

4.最高頻率是奈奎斯特，或采樣率的一半

頻譜中的最高頻率分量與緩沖區(qū)中采樣點之間的時間間隔有關。至少，我們需要在一個周期內測量兩個V（t）點來計算該頻率分量的幅度和相位的值。這意味著我們可以計算的最高頻率正弦波的周期是時間間隔的兩倍，或Pmax = 2 x △T。

頻譜中最高的頻率分量也稱為奈奎斯特頻率。由于獲取數據的采樣率為奈奎斯特頻率1/△T，因此我們可以計算正弦波分量的最高頻率是采樣率的一半。如果采樣率為 10 GS/s，則奈奎斯特頻率為 5 GHz。

理想正弦波的平均值始終為 0。這意味著，當我們使用一組正弦波來描述真實波形時，重新創(chuàng)建的時域波形的平均值始終為0。但實際波形具有平均值或直流偏移。為了解決這個問題，我們將直流分量存儲在0 Hz頻率分量中，這是0 x基波。在大多數示波器中，您可以抑制繪制 0千頻率分量以放大顯示器的比例。

5. FFT 通過首先將緩沖區(qū)截斷為 2^n 個采樣點來加快計算速度

一百萬個數據點將涉及大約一萬億次DFT計算來創(chuàng)建一個頻譜。這可能需要比方便更長的時間來計算。為了解決這個問題，我們使用稱為FFT的DFT的更快版本。它計算與 DFT 相同的積分，但它應用矩陣數學來使用點總數為 2 的冪來執(zhí)行計算。如果緩沖區(qū)中有 2 萬個點，則 FFT 計算中可以包含的最大點數為 19^524 = 288，<> 個點。我們丟棄了幾乎一半的測量數據，以獲得令人難以置信的快速計算時間。

執(zhí)行FFT的第一步是定義采集緩沖區(qū)的區(qū)域，該區(qū)域包含將要計算的最大數量的2^n點。大多數示波器允許您選擇時域屏幕的中心區(qū)域或從左邊緣計數。圖2顯示了FFT計算中將包括的虛線之間的區(qū)域。

圖2.垂直虛線之間是采集緩沖區(qū)的區(qū)域，其中包含將在FFT中使用的2^n點。

當采集緩沖時間為1 μs，并且我們有1萬個點時，我們預計基波為1 MHz。在頻譜中，F(xiàn)FT采集緩沖器小于此值，這意味著實際分辨率略大于<> MHz。但是，在考慮頻譜特征時，這些估計仍然是一個很好的價值。

6. 窗口功能可防止因截斷而導致的光譜泄漏

為了創(chuàng)建周期波形，我們采用采集緩沖器并無限期地重復它。使用 FFT 函數時，我們進一步截斷了采集緩沖區(qū)，并無限期地重復截斷的緩沖區(qū)。這意味著在每個附加采集緩沖器的邊界處，對應于一個緩沖器的結尾和下一個緩沖器的開始的波形可能存在不連續(xù)性（圖 3）。

圖3.在采集緩沖器中沒有整數個周期的正弦波信號示例。當相互附加時，緩沖器每個邊緣的波形都有一個不連續(xù)性，由NI提供。

通常，在每個緩沖器中具有整數周期數的正弦波的頻譜在其峰值頻率處將具有單個頻率尖峰。但是，如果由于截斷的采集緩沖器而人為地切斷了正弦波，則無限長的波形現(xiàn)在將具有不連續(xù)性，這將迫使峰值頻率中的一些頻率分量進入相鄰的頻率分量，這可能導致窄峰值失真。

這種效應稱為光譜泄漏。這是由于第一個電壓值與最后一個電壓值不同而導致緩沖器邊界處不連續(xù)性的偽影。減少此偽影的方法是通過將整個采集緩沖區(qū)乘以窗口函數來人為地減少不連續(xù)性。這會逐漸強制采集緩沖器末端的電壓值為0，從而保證一個緩沖器的末端與下一個緩沖器的開頭連續(xù)。

有許多常用的窗口函數。它們的不同之處在于它們允許的光譜泄漏量和由此產生的分辨率。除非您有充分的理由，否則我們建議您始終使用 von Hann（有時稱為 Hanning）或 Blackman-Harris 函數。

分析頻域中的時域波形

頻譜分析的價值在于能夠識別重復信號的頻譜“指紋”，其頻率在基波（1/采集緩沖器）和奈奎斯特（<>/<> x采樣率）之間的范圍內。每次示波器測量新的時域電壓采集緩沖器時，都會顯示新計算的頻譜響應。隨著源中的周期性信號發(fā)生變化，它們的光譜指紋也會發(fā)生變化。

任何可能有助于識別給定頻率的周期信號的應用都是實時頻譜分析的絕佳候選者。最常見的應用是搜索重要信號的干擾源。圖4顯示了開關模式電源（SMPS）負載變化時輸出的頻譜響應。峰值約為50 kHz，開關頻率隨負載變化而隨時間變化，如圖上部的頻譜圖所示。當您在這些頻率分量中觀察放大器的噪聲或振蕩器的抖動時，您就會知道可能的根本原因。

圖4.輸出負載變化時SMPS輸出的實時頻譜示例，顯示了峰值頻率的時間變化。

在查看RF干擾頻譜時，我們通?？梢允叭√囟ǖ耐ㄐ判盘枴D5顯示了使用帶有大尖端環(huán)路的10倍探頭測量的USB供電設備中電源軌的實時頻譜。頻譜指紋顯示從87 MHz到108 MHz的FM無線電頻段的拾音。

圖5.測量的USB電源軌噪聲的實時頻譜，顯示探頭拾取的FM無線電頻段中的大型分量。